오일러는 정수 계수에 이차 다항식 f(x)에 대해 방정식 f(x)=0의 모듈로 p상에서의 근에 대해 연구하였고, 다음의 추측을 제시하였다. 소수 p가 f(X)의 판별식 d을 나누지 않는다고 가정할 때, 위 방정식이 서로 다른 두 근을 모듈로 p상에 갖는지는 정확히 p의 모듈로 판별식 d 값에 의해 결정된다고 추측하였다. 이 추측은 가우스에 의해 증명되었으며, 이차상호법칙으로 불리고 있다.
다른 한 편으로 아틴의 유수체 이론과 랑글랜즈의 프로그램에서는 갈루아 군의 표현들과 특정군의 표현들 사이에 대응관계가 있음을 추측 혹은 증명하고 있다. 이 강연에서는 이차상호법칙이 이러한 대응 관계의 간단한 형태로 이해될 수 있다는 것을 소개하고, 마지막에 간략히 이러한 대응관계의 응용으로서의 발표자의 최근 연구 결과를 소개하고자 한다.